Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich Beweise rechtfertigen? Gibt es Grenzen der Beweisbarkeit? Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Kann man das Auffinden mathematischer Beweise Computern übertragen?
Erst im 20. Jahrhundert ist es der mathematischen Logik gelungen, weitreichende Antworten auf diese Fragen zu geben. Im vorliegenden Werk werden die Ergebnisse systematisch zusammengestellt; im Mittelpunkt steht dabei die Logik erster Stufe. Die Lektüre setzt – außer einer gewissen Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise – keine spezifischen Kenntnisse voraus.
Für die vorliegende 6. Auflage wurde der Text überarbeitet und durch die Darstellung zweier für Logik und Informatik wichtiger Entscheidbarkeitsresultate erweitert.
Die Lektüre des Buches setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Sie fordert jedoch eine Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise, wie man sie etwa im ersten Jahr eines Mathematikstudiums erwirbt. Als wesentliche Neuerung enthält die vorliegende sechste Auflage Beweise der Entscheidbarkeit zweier Theorien, nämlich der Presburger-Arithmetik und der schwachen monadischen Nachfolger-Arithmetik. Für die Letztere benötigen wir Sachverhalte aus der Automatentheorie, die Bestandteil des Informatik-Studiums sind. Diese Grundlagen stellen wir im notwendigen Umfang bereit.

nexusstc/Einführung in die mathematische Logik/15821f1165b8968fa40cc8341916ca34.pdf

lgli/Ebbinghaus - Mathematische Logik.pdf

lgrsnf/Ebbinghaus - Mathematische Logik.pdf

scihub/10.1007/978-3-662-58029-5.pdf

zlib/Mathematics/Heinz-Dieter Ebbinghaus/Einführung in die mathematische Logik_3621880.pdf

Heinz-Dieter Ebbinghaus; Jörg Flum; Wolfgang Thomas; Springer-Verlag GmbH

Ebbinghaus, Heinz-Dieter, Flum, Jörg, Thomas, Wolfgang

TeX

Springer Spektrum. in Springer-Verlag GmbH

Steinkopff. in Springer-Verlag GmbH

Springer Nature

Lehrbuch, 6., überarbeitete und erweiterte Auflage, Berlin, Germany, 2018

6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2018, Berlin, Heidelberg, 2018

Place of publication not identified, 2018

Germany, Germany

Oct 15, 2018

6, 20180928

0

sm72470037

producers:
Producer

{"edition":"6","isbns":["3662580284","3662580292","9783662580288","9783662580295"],"last_page":372,"publisher":"Springer"}

Source title: Einführung in die mathematische Logik (German Edition)

Vorwort 5
Inhaltsverzeichnis 7
1 Einleitung 10
1.1 Ein Beispiel aus der Gruppentheorie 11
1.2 Ein Beispiel aus der Theorie der Äquivalenzrelationen 13
1.3 Eine erste Analyse 14
1.4 Ausblick 16
2 Syntax der Sprachen erster Stufe 18
2.1 Alphabete 18
2.2 Das Alphabet einer Sprache erster Stufe 21
2.3 Terme und Ausdrücke in Sprachen erster Stufe 22
2.4 Induktion im Term- und im Ausdruckskalkül 26
2.5 Freie Variablen und Sätze 33
3 Semantik der Sprachen erster Stufe 35
3.1 Strukturen und Interpretationen 36
3.2 Eine Normierung der umgangssprachlichen Junktoren 39
3.3 Die Modellbeziehung 41
3.4 Die Folgerungsbeziehung 42
3.5 Zwei Lemmata über die Modellbeziehung 49
3.6 Einige einfache Symbolisierungen 54
3.7 Fragen zur Symbolisierbarkeit 58
3.8 Substitution 62
4 Ein Sequenzenkalkül 69
4.1 Sequenzenregeln 70
4.2 Grund- und Junktorenregeln 72
4.3 Ableitbare Junktorenregeln 74
4.4 Quantoren- und Gleichheitsregeln 76
4.5 Weitere ableitbare Regeln 78
4.6 Eine Zusammenfassung. Ein Beispiel 80
4.7 Widerspruchsfreiheit 82
5 Der Vollständigkeitssatz 86
5.1 Der Satz von Henkin 86
5.2 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (abzählbarer Fall) 91
5.3 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (allgemeiner Fall) 94
5.4 Der Vollständigkeitssatz 97
6 Der Satz von Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz 98
6.1 Der Satz von Löwenheim und Skolem 98
6.2 Der Endlichkeitssatz 100
6.3 Elementare Klassen 102
6.4 Elementar äquivalente Strukturen 106
7 Zur Tragweite der ersten Stufe 111
7.1 Der formale Beweisbegriff 112
7.2 Mathematik im Rahmen der ersten Stufe 115
7.3 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre 120
7.4 Bemerkungen zum mengentheoretischen Aufbau der Mathematik 125
8 Syntaktische Interpretationen und Normalformen 129
8.1 Termreduzierte Ausdrücke und relationale Symbolmengen 129
8.2 Syntaktische Interpretationen 132
8.3 Definitionserweiterungen 140
8.4 Normalformen 143
9 Erweiterungen der Logik erster Stufe 150
9.1 Die Logik zweiter Stufe 151
9.2 Das System 156
9.3 Das System 162
10 Berechenbarkeit und ihre Grenzen 164
10.1 Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit, Berechenbarkeit 165
10.2 Registermaschinen 171
10.3 Das Halteproblem für Registermaschinen 177
10.4 Die Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe 182
10.5 Der Satz von Trachtenbrot und die Unvollständigkeit der Logik zweiter Stufe 186
10.6 Theorien und die Unentscheidbarkeit der Arithmetik 189
10.7 Selbstbezügliche Aussagen und die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 197
10.8 Die Entscheidbarkeit der Presburger- Arithmetik 204
10.9 Die Entscheidbarkeit der schwachen monadischen Nachfolger-Arithmetik 211
11 Freie Modelle und Logik-Programmierung 230
11.1 Der Satz von Herbrand 231
11.2 Freie Modelle und universelle Horn-Ausdrücke 234
11.3 Herbrand-Strukturen 240
11.4 Aussagenlogik 243
11.5 Aussagenlogische Resolution 249
11.6 Resolution in der ersten Stufe (ohne Unifikation) 261
11.7 Logik-Programmierung 270
12 Eine algebraische Charakterisierung der elementaren Äquivalenz 286
12.1 Endliche und partielle Isomorphie 287
12.2 Der Satz von Fraïssé 293
12.3 Der Beweis des Satzes von Fraïssé 295
12.4 Ehrenfeucht-Spiele 302
13 Die Sätze von Lindström 304
13.1 Logische Systeme 304
13.2 Reguläre logische Systeme mit Endlichkeitssatz 308
13.3 Der erste Satz von Lindström 309
13.4 Der zweite Satz von Lindström 316
14 Lösungshinweise zu den Aufgaben 322
Literaturverzeichnis 356
Symbolverzeichnis 360
Sach- und Personenverzeichnis 364

Front Matter ....Pages i-ix
Einleitung (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 1-8
Syntax der Sprachen erster Stufe (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 9-25
Semantik der Sprachen erster Stufe (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 27-60
Ein Sequenzenkalkül (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 61-77
Der Vollständigkeitssatz (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 79-90
Der Satz von Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 91-103
Zur Tragweite der ersten Stufe (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 105-122
Syntaktische Interpretationen und Normalformen (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 123-143
Erweiterungen der Logik erster Stufe (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 145-158
Berechenbarkeit und ihre Grenzen (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 159-224
Freie Modelle und Logik-Programmierung (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 225-280
Eine algebraische Charakterisierung der elementaren Äquivalenz (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 281-298
Die Sätze von Lindström (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 299-316
Lösungshinweise zu den Aufgaben (Heinz-Dieter Ebbinghaus, Jörg Flum, Wolfgang Thomas)....Pages 317-350
Back Matter ....Pages 351-367

Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich Beweise rechtfertigen? Gibt es Grenzen der Beweisbarkeit? Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Kann man das Auffinden mathematischer Beweise Computern übertragen? Erst im 20. Jahrhundert ist es der mathematischen Logik gelungen, weitreichende Antworten auf diese Fragen zu geben: Im vorliegenden Werk werden die Ergebnisse systematisch zusammengestellt; im Mittelpunkt steht dabei die Logik erster Stufe. Die Lektüre setzt – außer einer gewissen Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise – keine spezifischen Kenntnisse voraus. In der vorliegenden 5. Auflage finden sich erstmals Lösungsskizzen zu den Aufgaben.

2018-10-21